Сборник задач по высшей математике.   Минорский В.П.

                                                   ОГЛАВЛЕНИЕ

   ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ....................... .......... 8

   От редакции    .................................................................................................... .......... 8

  Глава 1.   Аналитическая геомегрия на плоскости     ............................ ...... 9

§ 1.    Координаты точки на прямой и на плоскости. Расстояние

между двумя точками.......................................................................... .......... 9

§2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треуголь­
ника и многоугольника........................................................................ ......... 11

§3.    Уравнение линии как геометрического места точек .......................... 12
§ 4.    Уравнение прямой:  1) с угловым коэффициентом, 2) об­
щее, 3) в отрезках на осях.............................................................................. ........ 14

§5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых, прохо­дящих через

данную точку. Уравнение прямой, прохо­дящей через две данные точки. 

Точка пересечения двух

прямых    ............................................................................................... ........ 16

§6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Уравнения

 биссектрис. Уравнение пучка пря­мых, проходящих через точку пересечения

двух данных прямых    ............................................................................................ 19

§7.    Смешанные задачи на прямую.............................................................. ........ 21

§ 8.    Окружность.......................................................................................... ........ 22

§9.    Эллипс..................................................................................................... ........ 24

§ 10. Гипербола............................................................................................... ........ 26

§11. Парабола.................................................................................................. ........ 29

§ 12. Директрисы, диаметры и касательные к кривым второго

порядка    .............................................................................................. ........ 32

§ 13. Преобразование декартовых координат.    Параболы у =

= ах² + Ьх + с и х = ay² + by + с. Гипербола ху = к . . .                               35

§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка................................. ........ 38

§ 15. Общее уравнение линии второго порядка.......................................... ........ 40

§ 16. Полярные координаты    ...................................................................... ........ 44

§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших порядков    . .                         48

§ 18. Трансцендентные кривые    .................................................................. ........ 49

Глава 2.   Векторная алгебра........................................................................ ........ 51

§ 1.    Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр   ....                             51
§ 2.    Прямоугольные координаты точки и вектора

в пространстве...................................................................................... ........ 53

§3.    Скалярное произведение двух векторов............................................. ........ 55

§ 4.    Векторное произведение двух векторов    ........................................ ........ 58

§5.    Смешанное произведение трех векторов............................................. ........ 60

Глава 3.   Аналитическая геометрия в пространстве     .........................          62

§ 1.    Уравнение плоскости    ........................................................................          62

§2.    Основные задачи на плоскость    ..........................................................          63

§ 3.    Уравнения прямой................................................................................          65

§ 4.    Прямая и плоскость..............................................................................          68

§5.    Сферические и цилиндрические поверхности......................................          70

§6.    Конические поверхности и поверхности вращения   ....                                72

§ 7.    Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды.........................................          74

Глава 4.   Высшая алгебра    .........................................................................          78

§ 1.    Определители........................................................................................          78

§2.    Системы линейных уравнений...............................................................          80

§3.    Комплексные числа................................................................................          83

§ 4.    Уравнения высших степеней и приближенное решение

уравнений..............................................................................................          86

Глава 5.   Введение в анализ.........................................................................          90

§ 1.    Переменные величины и функции.......................................................          90

§2.    Пределы последовательности и функции. Бесконечно ма­
лые и бесконечно большие...................................................................          93

§3.    Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей

⁰        °°                                                                                                  97

вида - и —..............................................................................................          97

0      оо

Sill  Q(

§ 4.    Предел отношения ----------  при а —У 0    ........................................          98

а

§ 5.     Неопределенности вида оо — оо и 0 • оо...........................................          99

§6.    Смешанные примеры на вычисление пределов...................................        100

§7.    Сравнение бесконечно малых................................................................        101

§8.    Непрерывность функции......................................................................        102

§ 9.    Асимптоты    .........................................................................................        105

§ 10. Число е    ................................................................................................        106

Глава 6.   Производная и дифференциал     ..............................................        108

§ 1.    Производные алгебраических и тригонометрических

функций.................................................................................................        108

§2.    Производная сложной функции...........................................................        110

§3.    Касательная и нормаль к плоской кривой...........................................        111

§4.    Случаи недифференцируемости непрерывной функции . .                        113

§5.    Производные логарифмических и показательных функций                       114

§6.    Производные обратных тригонометрических функций . .                          116

§7.    Производные гиперболических функций    ........................................        117

§ 8.    Смешанные примеры и задачи на дифференцирование    .                        118

§9.    Производные высших порядков...........................................................        119

§ 10. Производная неявной функции............................................................        121

§11. Дифференциал функции.........................................................................      123

§ 12. Параметрические уравнения кривой...................................................      124

Глава 7.   Приложения производной    .......................................................      127

§ 1.    Скорость и ускорение..........................................................................      127

§2.    Теоремы о среднем    ............................................................................      128

§3.    Раскрытие неопределенностей.  Правило Лопиталя    ....                         131

§ 4.    Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум                     133

§ 5.    Задачи о наибольших и наименьших значениях величин                          136
§ 6.    Направление выпуклости и точки перегиба кривой.

Построение кривых..............................................................................      138

Глава 8.   Неопределенный интеграл.........................................................      140

§ 1.    Неопределенный интеграл. Интегрирование разложением                    140

§2.    Интегрирование подстановкой и непосредственное   ....                          142

§3.    Интегралы вида j -^-j, j  -_/===, j  -_/==

и к ним приводящиеся..........................................................................      145

§ 4.    Интегрирование по частям...................................................................      147

§5.    Интегрирование тригонометрических функций..................................      148

§6.    Интегрирование рациональных алгебраических функций................. 150
§ 7.    Интегрирование некоторых иррациональных алгебраиче­
ских функций...................................................................................................      152

§8.    Интегрирование некоторых трансцендентных функций..................... 155
§9.    Интегрирование гиперболических функций.   Гиперболи­
ческие подстановки.........................................................................................      156

§ 10. Смешанные примеры на интегрирование.............................................      157

Глава 9.   Определенный интеграл    .........................................................      160

§ 1.    Вычисление определенного интеграла................................................      160

§2.    Вычисление площадей    ........................................................................      163

§3.    Объем тела вращения.............................................................................      165

§ 4.    Длина дуги плоской кривой.................................................................      167

§5.    Площадь поверхности вращения..........................................................      169

§ 6.    Задачи из физики...................................................................................      170

§ 7.    Несобственные интегралы....................................................................      172

§8.    Среднее значение функции....................................................................      175

§9.     Формула трапеций и формула Симпсона............................................      176

Глава 10.  Кривизна плоской и пространственной кривой  ....                    178

§ 1.    Кривизна плоской кривой.    Центр и радиус кривизны.

Эволюта.................................................................................................      178

§2.    Длина дуги кривой в пространстве......................................................      180

§3. Производная вектор-функции по скаляру и ее механиче­
ское и геометрическое значение. Естественный трех­
гранник кривой    .................................................................................       180

§ 4.     Кривизна и кручение пространственной кривой    ..........................       183

Глава 11.  Частные производные, полные дифференциалы

и их приложения     ...................................................................       185

§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое изобра­
жение .....................................................................................................      185

§2.    Частные производные первого порядка    ..........................................      187

§3.    Полный дифференциал первого порядка............................................      189

§4.    Производные сложных функций    ......................................................      191

§5.    Производные неявных функций...........................................................      192

§ 6.    Частные производные и полные дифференциалы высших

порядков................................................................................................      194

§ 7.    Интегрирование полных дифференциалов.........................................      198

§8.    Особые точки плоской кривой..............................................................      199

§9.    Огибающая семейства плоских кривых................................................      200

§ 10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...............................      201

§11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.

Производная в данном направлении. Градиент.................................      203

§ 12. Экстремум функции двух переменных................................................      205

Глава 12.   Дифференциальные уравнения    ..........................................      207

§ 1.    Понятие о дифференциальном уравнении..........................................      207

§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделя­ющимися

        переменными. Ортогональные траектории . . .     208

§ 3.    Дифференциальные уравнения первого порядка:

1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли...........................................      211

§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие дифферен­
циалы произведения и частного...........................................................      213

§ 5.    Дифференциальные уравнения первого порядка в полных

дифференциалах. Интегрирующий множитель    ..............................      213

§6.    Дифференциальные уравнения первого порядка, не раз­
решенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро.................................................................................      215

§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допус­
кающие понижение порядка.................................................................      217

§8.    Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами............................................................      218

§9.    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с постоянными коэффициентами..........................................................      219

§ 10. Примеры дифференциальных уравнений разных типов      221

§ 11. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера х^пу^^п' +

+ mi-'-V"-¹¹+ • • • + а_п_₁ху¹ + а_пу = f(x)    ...........................................      222