Математика: Справочные материалы.  Гусев В.А., Мордкович А.Г.

СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Глава I. Числа
§ 1. Натуральные числа 18
1. Запись натуральных чисел 18
2. Арифметические действия над натуральными числами 18
3. Деление с остатком 20
4. Признаки делимости 21
5. Разложение натурального числа на простые множители 23
6. Наибольший натуральный делитель нескольких натуральных чисел 24
7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел 26
8. Употребление букв в алгебре. Переменные 27
§ 2. Рациональные числа 28
9. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные
дроби. Смешанные числа 28
10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 29
11. Приведение дробей к общему знаменателю 30
12. Арифметические действия над обыкновенными дробями 33
13. Взаимно обратные числа 36
14. Десятичные дроби 36
15. Арифметические действия над десятичными дробями 38
16. Проценты 42
17. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь 43
18*. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь 45
19. Множество рациональных чисел 47
§ 3. Действительные числа 48
20. Иррациональные числа 48
21. Действительные числа. Числовая прямая 50
22. Обозначения некоторых числовых множеств 52
23. Сравнение действительных чисел 52
24. Свойства числовых неравенств 53
25. Числовые промежутки 55
26. Модуль действительного числа 56
27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой 57
28. Правила действий над положительными и отрицательными числами 58
29. Свойства арифметических действий над действительными числами 58
30. Пропорции 59
31. Целая часть числа. Дробная часть числа 59
32. Степень с натуральным показателем 60
33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем 61
34. Стандартный вид положительного действительного числа 61
35. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней 62
36. Корень нечетной степени из отрицательного числа 64
37. Степень с дробным показателем 64
38. Свойства степеней с рациональными показателями 65
39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности 66
40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку 69
41*. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа 69
42. Понятие о степени с иррациональным показателем 72
43. Свойства степеней с действительными показателями 73
§ 4*. Комплексные числа 73
44. Понятие о комплексном числе 73
45. Арифметические операции над комплексными числами 74
46. Алгебраическая форма комплексного числа 76
47. Отыскание комплексных корней уравнений 81
Глава II. Алгебраические выражения
§ 5. Основные понятия 82
48. Виды алгебраических выражений 82
49. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения 83
50. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество 84
§ 6. Целые рациональные выражения 86
51. Одночлены и операции над ними 86
52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду 87
53. Формулы сокращенного умножения 89
54. Разложение многочленов на множители 90
55. Многочлены от одной переменной 93
56. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители 94
57. Разложение на множители двучлена хп - ап 95
58. Возведение двучлена в натуральную степень (бином Ньютона) 95
§ 7. Дробные рациональные выражения 96
59. Рациональная дробь и ее основное свойство 96
60. Сокращение рациональных дробей 97
61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю 98
62. Сложение и вычитание рациональных дробей 100
63. Умножение и деление рациональных дробей 102
64. Возведение рациональной дроби в целую степень 103
65. Преобразование рациональных выражений 104
§ 8. Иррациональные выражения 105
66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов) 105
67. Тождество л/о = \а\ 108
68. Преобразование иррациональных выражений 109
Глава III. Функции и графики
§ 9. Определение и свойства функций 111
69. Определение функции 111
70. Аналитическое задание функции 111
71. Табличное задание функции 113
72. Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат 114
73. График функции, заданной аналитически 115
74. Четные и нечетные функции 116
75. График четной функции. График нечетной функции. 117
76. Периодические функции 119
77. Монотонные функции 120
§ 10. Виды функций 121
78. Постоянная функция 121
79. Прямая пропорциональность 122
80. Линейная функция 124
81. Взаимное расположение графиков линейных функций 126
82. Обратная пропорциональность 126
83. Функция у = х2 128
84. Функция у = х3 129
85. Степенная функция с натуральным показателем.... 129
86. Степенная функция с целым отрицательным показателем 131
87. Функция y=Jx 132
88. Функция у=Ух 132
89. Функция у=п4х 133
90. Степенная функция с положительным дробным показателем 134
91. Степенная функция с отрицательным дробным показателем 134
92. Функция у = [х] 135
93. Функция у = {х} 135
94. Показательная функция 136
95. Обратная функция. График обратной функции 138
96. Логарифмическая функция 141
97. Число е. Функция у = ех. Функция у = In x 142
98. Числовая окружность 143
99. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса 144
100. Знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности 145
101. Свойства тригонометрических функций 146
102. Свойства и график функции у = sin x 146
103. Свойства и график функции у = cos x 148
104. Свойства и график функции у = tg х 148
105. Свойства и график функции у = ctg x 149
106*. Функция у = arcsin x 150
107*. Функция у = arccos x 151
108*. Функция у = arctg x 153
109*. Функция у = arcctg x 154
§ 11. Преобразования графиков 155
110. Построение графика функции у = mf(x) 155
111. Графики функций у = ах , у = ах 157
112. Построение графика функции у = f(x - т) + п 158
113. График квадратичной функции 159
114. Способы построения графика квадратичной функции 162
115. Построение графика функции у = f(kx) 165
116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций 167
117. График гармонического колебания у = A sin(cox + a) 168
Глава IV. Трансцендентные выражения

§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 172
118. Понятие трансцендентного выражения 172
119. Определение логарифма положительного числа. Натуральные логарифмы 172
120. Свойства логарифмов 173
121. Переход к новому основанию логарифма 175
122. Логарифмирование и потенцирование 176
123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма 177
§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 179
124. Тригонометрические выражения 179
125. Формулы сложения и вычитания аргументов 179
126. Формулы приведения 181
127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 182
128. Формулы двойного аргумента 185
129. Формулы понижения степени 186
130. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение 187
131. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму 188
132*. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A cos(t -a) 189
133*. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции 190
Глава V. Уравнения и системы уравнений
§ 14. Уравнения с одной переменной 193
134. Определение уравнения. Корни уравнения 193
135. Равносильность уравнений 193
136. Линейные уравнения 194
137. Квадратные уравнения 196
138. Неполные квадратные уравнения 198
139. Теорема Виета 198
140. Системы и совокупности уравнений 200
141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 202
142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 203
143. Уравнения с переменной в знаменателе 205
144. Область определения уравнения (ОДЗ) 207
145. Рациональные уравнения 209
146. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители 210
147. Решение уравнений методом введения новой переменной 212
148. Биквадратные уравнения 213
149. Решение задач с помощью составления уравнений . 214
150. Иррациональные уравнения 219
151. Показательные уравнения 222
152. Логарифмические уравнения 223
153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений 225
154. Простейшие тригонометрические уравнения 227
155. Методы решения тригонометрических уравнений . 229
156. Однородные тригонометрические уравнения 231
157*. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений) 233
158*. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений) 235
159. Графическое решение уравнений 237
160. Уравнения с параметром 240
§ 15. Уравнения с двумя переменными 244
161. Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения с двумя переменными 244
162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график 245
§ 16. Системы уравнений 246
163. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы 246
164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки 248
165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения 249
166. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных 250
167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными 253
168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными 254
169*. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления 255
170. Системы показательных и логарифмических уравнений 258
171*. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными 260
172. Системы трех уравнений с тремя переменными 262
173. Решение задач с помощью составления систем уравнений 263
Глава VI. Неравенства
§ 17. Решение неравенств 266
174. Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной 266
175. Графическое решение неравенств с одной переменной 267
176. Линейные неравенства с одной переменной 268
177. Системы неравенств с одной переменной 269
178. Совокупность неравенств с одной переменной 271
179. Дробно-линейные неравенства 272
180. Квадратные неравенства 274
181. Графическое решение квадратных неравенств 276
182. Неравенства с модулями 279
183. Решение рациональных неравенств методом промежутков 282
184. Показательные неравенства 285
185. Логарифмические неравенства 286
186*. Иррациональные неравенства 288
187. Решение тригонометрических неравенств 291
188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 294
§ 18. Доказательство неравенств 297
189. Метод оценки знака разности 297
190. Синтетический метод доказательства неравенств 298
191. Доказательство неравенств методом от противного . 299
192*. Использование неравенств при решении уравнений 300
Глава VII. Элементы математического анализа
§ 19. Числовые последовательности 302
193. Определение последовательности 302
194. Способы задания последовательности 302
195. Возрастание и убывание последовательности 303
196. Определение арифметической прогрессии 304
197. Свойства арифметической прогрессии 305
198. Определение геометрической прогрессии 307
199. Свойства геометрической прогрессии 308
200. Понятие о пределе последовательности 311
201. Вычисление пределов последовательностей 313
202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |д| < 1 314
§ 20. Предел функции 316
203. Предел функции у = fix) при х —» °°. Горизонтальная асимптота 316
204. Вычисление пределов функций при х —» °° 319
205. Предел функции при х —» о. Непрерывные функции. 321
206. Вертикальная асимптота 322
207. Вычисление пределов функций при х —» a 324
§ 21. Производная и ее применения 326
208. Приращение аргумента. Приращение функции 326
209. Определение производной 328
210. Формулы дифференцирования. Таблица производных 330
211. Дифференцирование суммы, произведения, частного 331
212*. Сложная функция и ее дифференцирование 333
213. Физический смысл производной 334
214*. Вторая производная и се физический смысл 335
215. Касательная к графику функции 336
216. Применение производной к исследованию функций на монотонность 341
217. Применение производной к исследованию функций на экстремум 343
218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке 347
219*. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке 349
220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин 353
221. Применение производной для доказательства неравенств 357
222. Общая схема построения графика функции 359
§ 22. Первообразная и интеграл 364
223. Первообразная 364
224. Таблица первообразных 365
225. Правила вычисления первообразных 366
226. Интеграл 369
227. Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона—Лейбница) 372
228. Правила вычисления интегралов 373
229. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур 375
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Геометрические фигуры
§ 1. Основные геометрические фигуры 380
1. Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур 380
2. Изображения геометрических фигур 383
3. Точки и прямые 385
4. Взаимное расположение точек и прямых 386
5. Плоскости 387
§ 2. Отрезки 389
6. Понятие отрезка 389
7. Измерение длины отрезка 390
8. Расстояния между точками и их свойства 391
§ 3. Ломаная 392
9. Понятие ломаной 392
10. Длина ломаной 394
§ 4. Углы 395
11. Луч 395
12. Понятие угла 397
13. Измерение углов 400
14. Равенство углов. Биссектриса угла 403
15. Смежные углы 405
16. Вертикальные углы 406
§ 5. Треугольники 407
17. Определение треугольника. Некоторые виды треугольников 407
18. Углы треугольника 411
19. Высота треугольника 413
20. Сумма углов треугольника 415
21. Свойства равнобедренного треугольника 416
22. Равенство треугольников 417
23. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора . . . 420
§ 6. Многоугольники 424
24. Общее понятие многоугольника 424
25. Углы многоугольника 426
26. Параллелограмм 427
27. Прямоугольник и квадрат 430
28. Ромб 431
29. Трапеция 433
30. Правильные многоугольники 435
§ 7. Площади фигур 436
31. Понятие площади 436
32. Площади прямоугольника прямоугольного треугольника 438
33. Площади треугольников 439
34. Площади четырехугольников и многоугольников . . . 440
§ 8. Окружность и крут 444
35. Определение окружности и круга 444
36. Центральные углы и дуги окружности 445
37. Вписанные углы 447
38. Взаимное расположение прямой и окружности 449
39. Взаимное расположение двух окружностей 452
40. Окружности, описанные около треугольника и вписанные в треугольник 455
41. Многоугольники, вписанные в окружности и описанные около них 457
42. Вписанные и описанные правильные многоугольники 458
43. Длина окружности 460
44. Площадь круга 462
45. Части окружности и круга 463
§ 9. Многогранники 466
46. Трехгранный угол. Свойства плоских углов трехгранного угла 466
47. Многогранные углы 468
48. Прямоугольные трехгранные углы 470
49. Пирамиды 472
50. Призмы 478
51. Параллелепипеды 481
52. Тело и его поверхность 485
53. Общее определение многогранника 486
54. Правильные многогранники 487
55. Триангуляция многоугольников и многогранников . 490
56. Развертки многогранников 492
§ 10. Тела вращения 495
57. Понятие о поверхности и телах вращения 495
58. Цилиндр 496
59. Призма, вписанная в цилиндр и описанная около него 499
60. Конус 500
61. Пирамида, вписанная в конус и описанная около него 504
62. Шар 504
63. Части шара и сферы 508
Глава II. Взаимное расположение прямых
§ 11. Пересекающиеся прямые 511
64. Понятие пересекающихся прямых 511
§ 12. Перпендикулярные прямые 512
65. Понятие перпендикулярных прямых 512
66. Серединный перпендикуляр отрезка 514
67. Перпендикуляр и наклонная 515
68. Геометрическое место точек 517
§ 13. Параллельные прямые 520
69. Понятие параллельности прямых 520
70. Аксиома параллельных 524
71. Пересечение двух прямых секущей 526
72. Неевклидова геометрия 529
§ 14. Скрещивающиеся прямые 531
73. Понятие скрещивающихся прямых 531
74. Угол между скрещивающимися прямыми 534
75. Расстояние между скрещивающимися прямыми .... 535
Глава III. Взаимное расположение прямых и плоскостей
§ 15. Перпендикулярность прямой и плоскости 538
76. Пересекающиеся прямые и плоскости 538
77. Перпендикулярность прямой и плоскости 539
78. Параллельность и перпендикулярность прямых, проведенных к плоскости 541
79. Наклонные к плоскости 542
80. Угол между прямой и плоскостью 544
§ 16. Параллельность прямой и плоскости 547
81. Понятие параллельности прямой и плоскости 547
Глава IV. Взаимное расположение плоскостей
§ 17. Пересекающиеся плоскости 552
82. Понятие пересекающихся плоскостей 552
83. Двугранные углы 553
§ 18. Перпендикулярность плоскостей 558
84. Понятие перпендикулярности плоскостей 558
§ 19. Параллельность плоскостей 560
85. Понятие параллельности плоскостей 560
86. Свойства и признаки параллельных плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей 561
Глава V. Геометрические преобразования фигур
§ 20. Изометрии (движения) 563
87. Понятие геометрического преобразования 563
88. Поворот вокруг точки на данный угол 564
89. Вращение фигуры вокруг оси на данный угол 566
90. Симметрия относительно точки (центральная симметрия) 567
91. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия) 569
92. Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия) 571
93. Параллельный перенос 573
94. Определение и свойства изометрии 574
95. Изометрия и равенство фигур 578
Глава VI. Подобие фигур. Преобразование подобия
§ 21. Подобие фигур 580
96. Понятие подобия фигур 580
97. Подобие треугольников 581
98. Подобие многоугольников 583
§ 22. Преобразование подобия 584
99. Гомотетия и ее свойства 584
100. Понятие преобразования подобия 587
Глава VII. Прямоугольная декартова система координат
§ 22. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве 589
101. Декартовы координаты на прямой 589
102. Декартовы координаты на плоскости 590
103. Декартовы координаты в пространстве 592
104. Координаты середины отрезка 596
105. Формула расстояния между точками 597
§ 23. Уравнения фигур 599
106. Понятие уравнения фигур 599
107. Уравнение прямой 600
108. Уравнение окружности и сферы 602
Глава VIII. Векторы
§ 24. Векторы и операции с ними 608
109. Понятие вектора 608
110. Равенство векторов 611
111. Сложение векторов 612
112. Правило параллелепипеда сложения векторов 616
113. Разность векторов 617
114. Умножение вектора на число 619
115. Скалярное произведение векторов 621
116. Разложение вектора на составляющие 623
§ 25. Координаты вектора 625
117. Координаты вектора 625
118. Свойства координат вектора 628
Глава IX. Объемы и площади поверхностей фигур
§ 26. Объемы многогранников 630
119. Понятие объема фигур 630
120. Принцип Кавальери 631
121. Объем призмы 633
122. Объем пирамиды 635
§ 27. Объемы фигур вращения 639
123. Объем цилиндра 639
124. Объем конуса 642
125. Объем шара 644
126. Объемы частей шара 646
§ 28. Площади поверхностей круглых тел 648
127. Площадь поверхности шара и его частей 648
128. Площадь поверхности цилиндра 650
129. Площадь поверхности конуса 651
Глава X. Метрические соотношения в треугольнике
§ 29. Тригонометрические функции углов прямоугольного треугольника 653
130. Синус и косинус в прямоугольном треугольнике 653
131. Тангенс и котангенс 656
§ 30. Решение треугольников 656
132. Решение прямоугольных треугольников 656
133. Теорема косинусов 658
134. Теорема синусов 659
Предметный указатель 660